Badanie zmienności funkcji Pochodna a monotoniczność funkcji, ekstrema i punkty przegięcia Z twierdzenia Lagrange’a wynikają następujące własności pochodnejFichtenholtz, op. cit., s. 236–237.: Jeżeli funkcja jest różniczkowalna, to Jeśli to jest funkcją rosnącą na Jeśli to jest funkcją niemalejącą na Jeśli to jest funkcją malejącą na Jeśli to jest funkcją nierosnącą na Jeśli to jest funkcją stałą na
Z własności tych wynika, że ważnymi punktami dziedziny funkcji różniczkowalnej są miejsca zerowe jej pochodnej. Ponieważ funkcja różniczkowalna jest funkcją ciągłąFichtenholtz, op. cit., s. 171., więc jeśli funkcja jest określona na przedziale otwartym, to zbiory rozwiązań nierówności i są sumami przedziałów otwartych.
Zbiór miejsc zerowych pochodnej jest zbiorem domkniętym. Miejsca zerowe pierwszej pochodnej są bardzo ważne w badaniu funkcji. W praktyce obliczeniowej funkcje na ogół mają skończoną lub przeliczalną liczbę miejsc zerowych, które dzielą dziedzinę na przedziały otwarte, w których pochodna jest stale dodatnia lub stale ujemna.