Algebra ta nazwana jest pierścieniem (łącznym), jeśli ponadto: struktura jest grupą abelową, nazywaną grupą addytywną, z działaniem nazywanym dodawaniem i elementem neutralnym , nazywanym zerem:
struktura jest półgrupą z działaniem nazywanym mnożeniem:
oba działania powiązane są ze sobą prawami rozdzielności:
Ponieważ jest grupą, to pierścień ma dokładnie jedno zero, a element odwrotny do względem dodawania (element z trzeciego aksjomatu), nazywany w tym kontekście elementem przeciwnym, jest wyznaczony jednoznacznie i oznaczany
Warianty Na działanie mnożenia nakłada się często dodatkowe warunki regularności, precyzując nazwę nowej struktury: pierścień z jedynką – istnienie elementu neutralnego mnożenia (oznaczanego tradycyjnie ) nazywanego jedynkąNiekiedy wymaga się, aby był on różny od elementu neutralnego dodawania, wykluczając przy tym przypadek pierścienia zerowego, przybliżając definicję pierścienia do określenia ciała.:
pierścień przemienny – przemienność mnożenia (wówczas prawa rozdzielności stają się sobie równoważne):
Uwaga W pierścieniu z jedynką struktura jest monoidem (przemiennym, jeśli pierścień jest przemienny), wynika stąd, że pierścień może mieć co najwyżej jedną jedynkę.
W praktyce najczęściej rozpatruje się (niezerowe) pierścienie z jedynką;