Co więcej, istnieje kilka nierównoważnych sposobów określenia różniczkowalności w sposób ciągły tych różniczek Gâteaux, które są liniowe i ciągłe w
Niech dana będzie na przykład funkcja dwóch zmiennych rzeczywistych o wartościach rzeczywistych określona wzorem
Jest ona różniczkowalna w sensie Gâteaux w punkcie przy czym jej różniczką w tym punkcie jest
Wprawdzie jest ona ciągła, ale nie jest liniowa ze względu na argumenty W przypadku nieskończeniewymiarowym dowolny funkcjonał liniowy nieciągły jest różniczkowalny w sensie Gâteaux; choć jego różniczka Gâteaux w jest liniowa, to jednak nie jest ciągła.
Związek z pochodną Frécheta Jeżeli jest różniczkowalna w sensie Frécheta, to jest różniczkowalna także w sensie Gâteaux, przy czym pochodne te są równe. Sytuacja odwrotna w ogólności nie zachodzi, ponieważ pochodna Gâteaux może nie być liniowa lub ciągła. W rzeczywistości jest nawet możliwe, by pochodna Gâteaux była tak liniowa, jak i ciągła, ale pochodna Frécheta nie istniała.