Jednakże dla funkcji z zespolonej przestrzeni Banacha w inną zespoloną przestrzeń Banacha pochodna Gâteaux (gdzie granica brana jest przy zespolonym parametrze zbiegającym do zera jak to jest w definicji różniczkowalności zespolonej) jest koniecznie liniowa, o czym mówi twierdzenie Zorna. Więcej, jeżeli jest różniczkowalna w (zespolonym) sensie Gâteaux w każdym punkcie gdzie pochodna dana jest wzorem
to jest różniczkowalna w sensie Frécheta na a jej różniczką Frécheta jest . Jest to odpowiednik wyniku elementarnej analizy zespolonej, mianowicie: funkcja jest analityczna, jeżeli jest różniczkowalna w sensie zespolonym na zbiorze otwartym; przy czym jest to podstawowym wynik holomorficzności nieskończeniewymiarowej.
Różniczkowalność w sposób ciągły Różniczkowalność w sensie Gâteaux w sposób ciągły może być określona na dwa nierównoważne sposoby. Niech będzie różniczkowalna w sensie Gâteaux w każdym punkcie zbioru otwartego Jedno z podejść do różniczkowalności w sposób ciągły na wymaga, aby odwzorowanie z przestrzeni produktowej
było ciągłe.