Założenie liniowości jest zbędne: jeżeli oraz są przestrzeniami Frécheta, to jest automatycznie ograniczone i liniowe dla wszystkich .
W mocniejszym z pojęć różniczkowalności w sposób ciągły wymaga się, aby
było odwzorowaniem ciągłym
z w przestrzeń ciągłych funkcji liniowych z w Należy zauważyć, że czyni to zadość liniowości
Ze względu na to, że drugie pojęcie jest dogodniejsze technicznie, to właśnie je zwykle (lecz nie zawsze) stosuje się w przypadku, gdy przestrzenie i są Banacha, ponieważ wtedy również jest Banacha, co umożliwia posiłkowanie się metodami analizy funkcjonalnej. Pierwszą z definicji spotyka się częściej w tych obszarach analizy nieliniowej, w których rozpatrywane przestrzenie funkcyjne niekoniecznie są Banacha. Na przykład różniczkowanie w przestrzeniach Frécheta ma zastosowania takie jak twierdzenie Nasha-Mosera o funkcji odwrotnej, w którym rozważane przestrzenie funkcyjne często składają się z funkcji gładkich określonych na rozmaitości.
Pochodne wyższych rzędów Pochodne Frécheta wyższych rzędów definiuje się w sposób naturalny jako funkcje wieloliniowe ze względu na iterację przy pomocy izomorfizmów Pochodnych Gâteaux wyższych rzędów nie można jednak definiować w ten sposób, w zamian pochodną Gâteaux -tego rzędu funkcji w kierunku definiuje się jako