Archimedes udowodnił, że dla wszystkich powyższych brył obrotowych stosunki te są współmierne i w każdym z nich pojawia się ta sama stała .
Stosując opracowaną przez Eudoksosa i rozwiniętą przez siebie metodę wyczerpywania, udowodnił m.in., że pole koła jest równe polu trójkąta prostokątnego, którego przyprostokątnymi są promień koła i rektyfikacja brzegu koła (czyli odpowiedniego okręgu), objętość walca jest równa objętości graniastosłupa prostego trójkątnego, w którym z jednego z wierzchołków wychodzą trzy wzajemnie prostopadłe krawędzie o długościach równych wysokości walca, promieniowi podstawy walca i rektyfikacji brzegu podstawy walca, objętość stożka jest równa objętości walca opisanego na stożku.
Stosując stworzoną przez siebie metodę sum całkowych, udowodnił także, że pole powierzchni kuli jest równe polu powierzchni bocznej walca opisanego na tej kuli, objętość kuli jest równa objętości walca opisanego na tej kuli, z którego wydrążono dwa stożki stykające się swoimi wierzchołkami i których podstawy pokrywają się z podstawami walca.