W dzisiejszym języku oznacza to analizę dwóch ciągów i ich granic: rosnącego ciągu obwodów wielokątów foremnych wpisanych oraz malejącego ciągu obwodów wielokątów foremnych opisanych Dla tych ciągów zachodzą łatwe do stwierdzenia zależności: oraz

Wprawdzie przy użyciu ówczesnej aparatury rachunkowej metoda ta praktycznie nie nadawała się do wyznaczania przybliżeń liczby , jasno jednak pokazała, że jest granicą pewnych ciągów wielkości konstruowalnych (w sensie konstrukcji klasycznychOczywiście nie każdy wielokąt foremny jest konstruowalny, więc wystarczyło „zacząć” od wielokąta foremnego konstruowalnego, np. trójkąta równobocznego, kwadratu lub pięciokąta foremnego, a następnie wielokrotnie podwajać liczbę boków.).

W pracach „O wymierzaniu koła” i „O kuli i walcu” wykazał, że jest w istocie „stałą uniwersalną” geometrii w następującym sensie.

Stosunek obwodu koła do jego średnicy jest stały, ten stosunek jest właśnie liczbą . Podobnie stałe są stosunek pola powierzchni koła do kwadratu jego promienia, stosunek objętości walca i stożka do iloczynu wysokości i kwadratu promienia podstawy, stosunek powierzchni kuli do kwadratu jej promienia, stosunek objętości kuli do sześcianu jej promienia.