(3) Klasa funkcji analitycznych w pewnym obszarze tworzy pierścień, to znaczy suma i iloczyn funkcji analitycznych jest również funkcją analityczną oraz iloraz funkcji analitycznych jest funkcją analityczną, o ile mianownik nie przyjmuje w danym obszarze wartości zerowych.
(4) Każda zespolona funkcja analityczna jest nieskończenie wiele razy różniczkowalna w swej dziedzinie.
(5) Rozwinięcie funkcji analitycznej w szereg potęgowy w otoczeniu dowolnego punktu jest de facto szeregiem Taylora, gdyż współczynniki rozwinięcia dane są wzorem:
gdzie oznacza -tą pochodną w punkcie
(6) Jeśli dwie funkcje analityczne zmiennej zespolonej są określone w tym samym obszarze, a ich wszystkie pochodne są równe w pewnym punkcie tego obszaru, to obie funkcje są sobie równe w całym obszarze.
Uwaga:
Powyższe własności nie dotyczą funkcji zmiennej rzeczywistej – funkcja nieskończenie wiele razy różniczkowalna może nie dać przedstawić się szeregiem potęgowym.
Formalne szeregi potęgowe Pojęcie szeregu potęgowego zostało przeniesione do algebry pod postacią formalnego szeregu potęgowego nad danym ciałem. Ich badanie ma wielkie znaczenie dla kombinatoryki, gdzie występują pod postacią funkcji tworzących.
Szereg potęgowy wielu zmiennych Kolejnym uogólnieniem teorii szeregów potęgowych jednej zmiennej jest teoria szeregów wielu zmiennych.