to Ponadto . Dowód. Niech będą liczbami naturalnymi. Wówczas
Ponieważ prawa strona powyższej nierówności jest zbieżna do 0, ciąg sum częściowych ciągu jest ciągiem Cauchy’ego, a więc jest on zbieżny do pewnego elementu (z zupełności ), tj.
Ponadto
oraz
ponieważ Pokazuje to, że Co więcej,
Z powyższego wynika, że grupa jest otwarta (w topologii pochodzącej od normy ). Dowód. Niech będzie elementem odwracalnym oraz niech będzie dowolne. Wówczas W przypadku gdy element jest również odwracalny ponieważ
więc element (a więc i samo ) jest odwracalny.
Ostatecznie, funkcja
jest ciągła, tj. jest grupą topologiczną. Dowód. Niech Jeżeli to Stąd
Ostatecznie
co dowodzi ciągłości operacji brania elementu odwrotnego.
Ideały i ilorazowe algebry Banacha Niech będzie algebrą Banacha oraz niech będzie domkniętym ideałem dwustronnym. W szczególności, jest domkniętą podprzestrzenią liniową, więc przestrzeń ilorazowa jest przestrzenią Banacha. Ponieważ jest ideałem dwustronnym, jest również algebrą. Algebra ta jest algebrą Banacha, tj. norma ilorazowa jest podmultiplikatywna. Dowód.