Niech Wówczas
Powyższa nierówność kończy dowód, ponieważ każdy element jest postaci dla pewnego .
Z ciągłości działań w algebrze Banacha wynika, że jeżeli jest dowolnym ideałem w to jego domknięcie też jest ideałem w
Przykłady Niech będzie zwartą przestrzenią Hausdorffa. Wówczas każdy domknięty ideał w jest postaci
dla pewnego zwartego podzbioru Algebra ilorazowa jest wówczas izometrycznie izomorficzna jako algebra Banacha z . Dla każdej przestrzeni Banacha zbiór złożony ze wszystkich operatorów zwartych na jest domkniętym ideałem w Algebra ilorazowa bywa nazywana algebrą Calkina przestrzeni (czasami nazwa ta jest rezerwowana dla przypadku, gdy jest ośrodkową przestrzenią Hilberta).
Przemienne algebry Banacha Podstawowym przykładem przemiennej algebry Banacha jest algebra funkcji ciągłych o własnościach skalarnych na lokalnie zwartej przestrzeni Hausdorffa które znikają w nieskończoności. Jeżeli jest przemienną algebrą Banacha, to rodzina jej maksymalnych ideałów modularnych z topologią Gelfanda jest (możliwie pustą) przestrzenią lokalnie zwartą Hausdorffa.