Twierdzenie (o wariancji parami niezależnych zmiennych losowych) Tw. Jeżeli zmienne losowe są całkowalne (tj. mają skończone wartości oczekiwane) i parami niezależne, to
tzn.wariancja sumy tych zmiennych jest równa sumie ich wariancji.
Innymi słowy: Przy niezależności nie pojawiają się dodatkowe składniki (kowariancje), więc „rozrzut” sumy jest po prostu sumą rozrzutów poszczególnych zmiennych.
Wiele zmiennych losowych o wartościach rzeczywistych
Definicja 1 niezależności n zmiennych losowych Def. Mówimy, że zmienne losowe są niezależne, gdy dla dowolnych liczb rzeczywistych zachodzi równość
Uwaga:
Niezależność każdej pary zmiennych wybranych spośród zmiennych nie implikuje koniecznie niezależności zmiennych .
Podobnie niezależność każdej trójki zmiennych wybranych spośród zmiennych nie implikuje koniecznie niezależności zmiennych . Itd.
Inne sformułowanie warunku niezależności podano niżej.
Definicja 2 niezależności n zmiennych losowych Def. Zmienne losowe nazywamy niezależnymi, gdy dla każdego ciągu zbiorów borelowskich (na prostej) spełniony jest warunek