Innymi słowy, zmienne są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy generowane przez nie σ-ciałaPrzypomnijmy, że dla funkcji σ-ciałem generowanym przez funkcję nazywamy najmniejsze w sensie inkluzji σ-ciało podzbiorów względem którego funkcja ta jest mierzalna. Tym σ-ciałem jest rodzina są niezależne.
Definicja niezależności zdarzeń losowych Używając zmiennych losowych, możemy opisywać niezależność zdarzeń losowych.
Def. Zdarzenia są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy niezależne są ich funkcje charakterystyczne rozpatrywane jako zmienne losowe.
Twierdzenia Tw. 1 Jeśli są zmiennymi losowymi, to każde dwa z następujących zdań są równoważne: Zmienne losowe są niezależne. tzn. rozkład łączny wektora losowego jest produktem rozkładów odpowiednich zmiennych losowych. dla każdych liczb rzeczywistych tzn. dystrybuanta wielowymiarowa wektora losowego jest iloczynem dystrybuant odpowiednich zmiennych losowych.
Tw. 2 Jeśli zmienne losowe mają rozkłady ciągłe, a są ich gęstościami, to są one niezależne gdy funkcja
jest gęstością wektora losowego
Tw. 3 Jeżeli są zmiennymi losowymi o rozkładach dyskretnych, a są takimi zbiorami przeliczalnymi, że
to zmienne te są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdych liczb zachodzi równość