Tw. 4 Jeżeli zmienne losowe są niezależne, a jest ściśle rosnącym ciągiem liczb ze zbioru to σ-ciała
są niezależne.
Definicja niezależności dowolnej rodziny zmiennych losowych Def. Jeśli gdzie jest pewnym zbiorem indeksów, jest rodziną zmiennych losowych określonych na tej samej przestrzeni probabilistycznej, to mówimy, że jest ona niezależna, gdy dla każdej liczby naturalnej oraz dla każdego zbioru indeksów będacego podzbiorem niezależne są zmienne losowe
Twierdzenia (o wartość oczekiwana iloczynu niezależnych zmiennych losowych) Tw. Korzystając z twierdzenia Fubiniego, można dowieść, że:
(1) Jeśli są niezależnymi zmiennymi losowymi, to wartość oczekiwana modułu ich iloczynu wyraża się wzorem
(2) Jeśli ponadto zmienne te są całkowalne, to
Twierdzenie odwrotne nie jest jednak prawdziwe:
Tw. Niech oraz niech będzie σ-ciałem zbiorów borelowskich na tym zbiorze, a będzie obcięciem miary Lebesgue’a do tego σ-ciała.