Rozważmy następujące zmienne losowe
Wartość oczekiwana każdej z nich oraz ich iloczynu wynosi 0, natomiast zmienne te nie są niezależne, gdyż w przeciwnym razie byłyby niezależne zmienne (jedynka trygonometryczna),
czyli w konsekwencji dla każdego zbioru borelowskiego byłby spełniony warunek
co oczywiście nie jest prawdą.
Twierdzenia wykorzystujące założenie niezależności zmiennych Funkcja charakterystyczna sumy niezależnych zmiennych losowych jest iloczynem funkcji charakterystycznych tych zmiennych. Funkcja tworząca sumy niezależnych zmiennych losowych (przyjmujących wartości w zbiorze liczb naturalnych z zerem) jest iloczynem funkcji tworzących tych zmiennych losowych. Prawo zero-jedynkowe Kołmogorowa Jeżeli jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych, to
Rozkład sumy niezależnych zmiennych losowych, z których choć jedna ma rozkład ciągły, jest rozkładem ciągłym. Gęstością sumy niezależnych zmiennych losowych o rozkładach ciągłych jest splot gęstości tych zmiennych losowych. Rozkładem (dystrybuantą) sumy niezależnych zmiennych losowych jest splot rozkładów (dystrybuant) tych zmiennych. Twierdzenie Kołmogorowa-Prochorowa Tożsamość Walda Nierówność Kołmogorowa Twierdzenie Kołmogorowa Mocne prawo wielkich liczb Kołmogorowa Słabe prawo wielkich liczb Twierdzenie Poissona Twierdzenie Gliwenki