dla dowolnych , takich że , przynajmniej jedna z par i ma nie należeć do relacji, abyśmy – z definicji relacji antysymetrycznej – mogli ją w sposób poprawny, uznać za antysymetryczną, właśnie).
Własności
Częściowe porządki oraz liniowe porządki, rozumiane jako pewne relacje (określane na pewnych zbiorach) są relacjami antysymetrycznymi, co wynika wprost z odpowiednich definicji obu tych porządków. Dana relacja może być jednocześnie zarówno relacją symetryczną, jak i relacją antysymetryczną. Przykład. Można sprawdzić rachunkiem, że przykładem relacji, spełniającej oba te warunki, dla ustalonego przykładowego zbioru , może być następująca relacja , zapisana jawnie jako zbiór par należących do tej relacji: . Istnieją w matematyce relacje, które nie są ani symetryczne, ani też nie są antysymetryczne. Przykład. Niech . Na tym zbiorze istnieje relacja , która nie jest symetryczna i nie jest też antysymetryczna. Jest to relacja zdefiniowana w następujący sposób: . Sprawdzimy antysymetrię. Wprost z definicji, relacja nie będzie antysymetryczna, wtedy i tylko wtedy, gdy: . Wystarczy zatem podać odpowiedni przykład elementów . Przykładem tym jest para uporządkowana: . Rzeczywiście, widzimy, że skoro oraz ;