Dowodem ze zbioru aksjomatów A nazywamy skończony ciąg formuł taki, że dla każdego jest jedną z formuł z lub jest aksjomatem logicznym, lub Istnieją dla których jest równokształtna z Istnieje , dla którego jest równokształtna z dla pewnego .
Jeśli jest dowodem ze zbioru aksjomatów to powiemy, że formuła jest dowodliwa z A albo też że jest twierdzeniem z A i napiszemy wtedy Jeśli jest zbiorem pustym to możemy pominąć je w naszych oznaczeniach i napisać
Powiemy, że jest sprzecznym zbiorem aksjomatów, jeśli dla pewnej formuły mamy zarówno że jak i W przeciwnym razie mówimy, że jest niesprzeczny.
Podstawowe własności Niech będzie jakimś zbiorem formuł języka oraz niech będą formułami tegoż języka. Twierdzenie o dedukcji: wtedy i tylko wtedy, gdy , o ile jest zdaniem (Pogorzelski, r.