Matematyczne wyprowadzenie sprzeczności Użyjmy oznaczenia R na prawdopodobieństwo wylosowania kuli czerwonej, Z na prawdopodobieństwo wylosowania kuli zielonej i Y na prawdopodobieństwo wylosowania kuli żółtej. Zgodnie z teorią oczekiwanej użyteczności, stwierdzenie, że osoba woli opcję 1A od opcji 1B implikuje:
Z drugiej strony, jeżeli osoba woli opcję 2B od opcji 2A, formalnie oznacza to, że:
co upraszcza się do:
Uzyskana sprzeczność oznacza to, że osoba posługująca się funkcją użyteczności do podejmowania decyzji nie może jednocześnie preferować opcję 1A w loterii 1 i opcję 2B w loterii 2.
Ogólność paradoksu Istnienie paradoksu nie zależy od konkretnej formy funkcji użyteczności, czyli od wartości jakie funkcja użyteczności przyjmuje dla różnych wartości wygranej. Mimo że założyliśmy powyżej, że nawet jeżeli lub paradoks nie znika.
Zobacz też Paradoks Allais
Przypisy
Bibliografia Ellsberg, D. (1961) Risk, Ambiguity, and the Savage Axioms, Quarterly Journal of Economics 75, 643-669.
Ellsberga