Łatwo sprawdzić, że funktor jest izomorfizmem kategorii wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadające mu przyporządkowania są bijekcjami.
Przykłady funktorów Niech oznacza grupę wolną generowaną przez zbiór jej wolnych generatorów, Wówczas każda funkcja ma jednoznaczne przedłużenie do homomorfizmu W ten sposób otrzymuje się funktor kowariantny z kategorii Set (zbiorów i funkcji ze zbioru w zbiór) do kategorii Grp (grup i homomorfizmów)Kategoryjne podejście do pojęcia grupy wolnej i ogólniej obiektu wolnego w pewnych kategoriach opisane jest w części grupy wolne w Teoria kategorii#Zagadnienia jednoznacznej faktoryzacji.. Funktory zapominania (ang. forgetful functors) to szeroka klasa funktorów polegających na pomijaniu jakiejś struktury lub jej części („zapominaniu” o niej). Na przykład przyporządkowując każdej grupie jej nośnik (tzn. zbiór jej elementów, bez żadnego działania) i każdemu homomorfizmowi tę samą funkcję z do otrzymujemy funktor z kategorii grup Grp w kategorię zbiorów Set. Podobnie określone są funktory zapominania z Vect do Ab, bo każda przestrzeń liniowa jest też grupą abelową z działaniem +, a każdy operator liniowy jest zarazem homomorfizmem grup („zapomina się” o mnożeniu przez skalary). Można też rozważać np.