Równanie różniczkowe Poissona – niejednorodne równanie różniczkowe cząstkowe liniowe drugiego rzędu typu eliptycznego.
Równanie to zapisać można w postaci:
lub inaczej
Funkcję zmiennych przestrzennych traktuje się jako znaną.
Szczególne przypadki Równanie można również zapisać explicite dla przestrzeni o zadanym wymiarze.
Dla przestrzeni trójwymiarowej przyjmuje ono postać równania różniczkowego cząstkowego:
a dla dwuwymiarowej:
W przypadku jednowymiarowym równanie Poissona redukuje się do równania różniczkowego zwyczajnego:
W przypadku jednorodnym, tj. jeśli to mamy do czynienia z przypadkiem szczególnym znanym pod nazwą równania różniczkowego Laplace’a.
Równanie Poissona opisuje wiele procesów zachodzących w przyrodzie, np. rozkład pola prędkości cieczy wypływającej ze źródła, potencjał pola grawitacyjnego w obecności źródeł, potencjał pola elektrostatycznego w obecności ładunków, temperaturę wewnątrz ciała przy stałym dopływie ciepła.
Nazwa równania pochodzi od nazwiska Simeona Denisa Poissona, który sformułował je na początku XIX wieku i przeprowadził analizę jego rozwiązań.
Rozwiązania i funkcje Greena Równanie różniczkowe Poissona z dołączonymi do niego warunkami brzegowymi tworzy eliptyczne zagadnienie brzegowe. Zagadnienie to posiada rozwiązania regularne, o ile warunki brzegowe mają postać ciągłą.