Można udowodnić, że zbiór ograniczony jest mierzalny w sensie Jordana wtedy i tylko wtedy, jeśli jego brzeg jest mierzalny w sensie Jordana i jest miary zero Jordana.
Miara Lebesgue’a
Ostatnia wspomniana własność znacząco ogranicza typy zbiorów mierzalne w sensie Jordana. Przykładowo zbiór liczb wymiernych zawartych w przedziale nie jest wtedy mierzalny w sensie Jordana, ponieważ jego brzegiem jest który nie jest miary zero Jordana. Jednakże intuicyjnie zbiór liczb wymiernych jest „mały”, ponieważ jest przeliczalny i powinien mieć zerowy „rozmiar”. Jest to istotnie prawdą, ale tylko wtedy, jeśli miara Jordana zostanie zastąpiona miarą Lebesgue’a. Miara Lebesgue’a zbioru pokrywa się z jego miarą Jordana, o ile zbiór ma miarę Jordana. Jednak miara Lebesgue’a zdefiniowana jest dla o wiele szerszej klasy zbiorów, jak np. zbioru liczb wymiernych wspomnianego wcześniej, a także dla zbiorów, które mogą być nieograniczone lub fraktali. Miara Lebesgue’a, w przeciwieństwie do miary Jordana, również jest prawdziwą miarą, tzn. każda przeliczalna suma zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a jest mierzalna w sensie Lebesgue’a, co nie jest prawdą, jeżeli słowo „Lebesgue’a” zastąpi się przez „Jordana”.
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne
Kategoria:Miary (teoria miary)