Twierdzenie Ptolemeusza – twierdzenie planimetrii wiążące boki i przekątne czworokąta cyklicznego. Jego pierwsze sformułowanie oraz dowód przypisuje się Klaudiuszowi Ptolemeuszowi; pojawia się ono w jego dziele Almagest.
Twierdzenie W dowolnym czworokącie wpisanym w okrąg iloczyn długości przekątnych równy jest sumie iloczynów długości przeciwległych boków:
Prawdziwe jest również twierdzenie odwrotne do niego: Jeśli w czworokącie iloczyn długości przekątnych równy jest sumie iloczynów długości przeciwległych boków, to czworokąt ten można wpisać w okrąg.
Dowody Dowód geometryczny centruj Niech dany będzie czworokąt wpisany w okrąg oraz punkt leżący na przekątnej tak, by półprosta przecinała przekątną przy zachowaniu równości kątów Wówczas otrzymuje się trójkąty i
Z konstrukcji wynika, że oraz ponieważ kąty te są kątami wpisanymi opartymi na tym samym łuku. Trójkąty i są więc podobne, dzięki czemu
skąd
Trójkąty i są podobne, gdyż mają równe kąty i oraz kąty i (kąty wpisane oparte na tym samym łuku). Odpowiednie boki są więc proporcjonalne:
a zatem
Po zsumowaniu stronami równości oraz otrzymuje się
co w konsekwencji daje
i ostatecznie
co należało wykazać.