wynik Hausdorffa i potem dalej idący paradoksalny rozkład kuli podany przez polskich matematyków Stefana Banacha i Alfreda Tarskiego w 1924) spowodowała zwracanie zwiększonej uwagi na aksjomaty potrzebne dla przeprowadzanych dowodów.
Aksjomatyczna teoria mnogości
Aksjomatyzacja teorii mnogości była częściowo motywowana potrzebą uniknięcia paradoksów formułowanych w początkowym okresie rozwoju teorii. Później, wraz z pewnym dążeniem do formalizacji całej matematyki na gruncie teorii mnogości i z odkryciami Gödela i Cohena dotyczącymi niezależności pewnych stwierdzeń matematycznych, formalne podejście do teorii mnogości stało się koniecznością.
Elementami uniwersum dowolnego modelu teorii mnogości są zbiory, a jedyną relacją w jej języku jest relacja należenia. W języku tym swoją interpretację posiadają wszystkie „sensowne” obiekty matematyczne. Na przykład funkcje to pewne zbiory par uporządkowanych (które oczywiście również są zbiorami); a według von Neumanna liczba 0 to zbiór pusty; liczba 1 to zbiór, którego jedynym elementem jest zbiór pusty;