mały|Diagram Venna ilustrujący część wspólną dwóch zbiorów mały|Zbiór wszystkich liczb wymiernych jest równoliczny ze zbiorem wszystkich liczb naturalnych

Teoria mnogości, teoria zbiorów – dział matematyki zaliczany do jej działów podstawowych (fundamentalnych); bada on zbiory, zwłaszcza te nieskończone, a także ich uogólnienia jak klasy.

Zbiory były rozważane przez ludzi od czasów niepamiętnych, a o nieskończoności zaczęto pisać najpóźniej w starożytnej Grecji. Mimo to za początki tej teorii uznaje się koniec XIX wieku, kiedy niemiecki matematyk Georg Cantor zapoczątkował systematyczne badania zbiorów nieskończonych, definiując je i klasyfikując. Początkowo wzbudzało to kontrowersje; do krytyków Cantora należeli między innymi Leopold Kronecker i Henri Poincaré. Mimo to inni uczeni uznali te rozważania za doniosłe; przykładowo David Hilbert umieścił jedno z zagadnień teorii mnogości na początku swojej listy 23 największych problemów stojących przed matematyką XX-wieczną. Po odkryciu paradoksów tzw. naiwnej teorii mnogości udało się sformułować teorię zbiorów jako teorię aksjomatyczną; jej standardową wersją jest aksjomatyka ZF uwieńczona w latach 30. XX wieku. Stała się ona podstawą innych działów matematyki, ponieważ do pojęcia zbioru zredukowano inne szeroko używane obiekty jak liczby, funkcje oraz inne relacje; teoria mnogości stała się tak źródłem modeli różnych teorii formalnych. W kolejnych dekadach pojawiły się: autonomiczne subdyscypliny jak opisowa teoria mnogości; równoważne sformułowania pewnych założeń, zwłaszcza pewnika wyboru; wyniki badań metamatematycznych nad teorią mnogości, np. niezależność niektórych postulatów od aksjomatyki ZF lub jej rozszerzeń.

W latach 20. XXI wieku teoria mnogości dalej jest rozwijana, np. prowadzone są seminaria na jej temat Jubileusz 10 lat działalności Seminarium z Teorii Mnogości i Topologii, matematyka.ujk.edu.pl, 19 lutego 2021 [dostęp 2023-02-15]..

Nauka ta bywa uznawana za część logiki matematycznej; przykładowo wśród laureatów Nagrody Rolfa Schocka w dziedzinie filozofii i logiki znalazł się Saharon Szelach badający głównie zbiory i ich moce.

Rys historyczny

Już matematycy starożytnej Grecji byli zaintrygowani nieskończonością i pozornymi paradoksami spowodowanymi przez używanie pojęcia nieskończoności w rozumowaniach logicznych – pozornymi, ponieważ z biegiem czasu paradoksy te zostały wyjaśnione i, po należytym uściśleniu używanych pojęć, wyeliminowane.

W 1638 roku GalileuszGalileo Galilei, Discorsi e dimostrazioni matematiche, intorno à due nuove scienze, 1638. zauważył, że liczby naturalne i kwadraty liczb naturalnych można powiązać przez wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość Ponieważ zbiór kwadratów liczb naturalnych jest właściwym podzbiorem zbioru liczb naturalnych (co więcej, o dopełnieniu nieskończonym), Galileusz uznał, że jest to paradoks wskazujący, iż pojęć typu większy/mniejszy nie można stosować w odniesieniu do zbiorów nieskończonych.

W pierwszej połowie XIX wieku Bernard Bolzano rozważał zbiory nieskończone, sugerując przez pewne przykłady, że zbiory nieskończone to takie, dla których istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość pomiędzy zbiorem a jego właściwym podzbiorem.

Praca Georga Cantora

W 1874 roku Georg Cantor opublikował pracę, która jest uznawana za narodziny współczesnej teorii mnogości. Idee te, pomimo dużej opozycji ze strony innych matematyków (np. Leopolda Kroneckera), zostały dalej rozwinięte w kolejnej pracy Cantora, z roku 1878. Podstawowe odkrycie Cantora dotyczyło pojęcia mocy (czyli „liczby elementów”) zbiorów nieskończonych. Przyjął on, że dwa zbiory A i B są równoliczne (mają tę samą moc), jeżeli można przyporządkować wszystkie elementy A wszystkim elementom B w sposób wzajemnie jednoznaczny. Mogłoby się wydawać, że po prostu wszystkie zbiory nieskończone są równoliczne. Cantor dowiódł jednak, że zbiór liczb naturalnych jest wprawdzie tej samej mocy co zbiór liczb algebraicznych, ale już nie tej samej co zbiór liczb rzeczywistych W związku z tą obserwacją Cantor sformułował następujący problem: Zagadnienie continuum (CH): Przypuśćmy, że A jest nieskończonym podzbiorem Czy można wówczas znaleźć albo bijekcję pomiędzy a A, albo bijekcję pomiędzy a A? Innymi słowy, czy A jest równoliczny albo z albo z ?

Dalsze postępy

David Hilbert, w swojej liście 23 problemów przedstawionych na kongresie w Paryżu w 1900 roku, jako pierwszy problem postawił zagadnienie continuum Cantora.

Ernst Zermelo w 1908 przedstawił pierwszą próbę aksjomatyzacji teorii mnogościZermelo, Ernst: Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre. I. „Math. Ann.” 65 (1908), s. 261–281.. Lista aksjomatów zaproponowana przez Zermela była poprawiona niezależnie przez Thoralfa Skolema i Abrahama Fraenkla około roku 1922. Dzisiaj aksjomaty te znane są jako aksjomaty Zermela-Fraenkla (ZF). Wkład do aksjomatyzacji miał także John von Neumann, i jego nazwisko też czasem jest zaznaczane w tym kontekście.

W 1939/40 Kurt Gödel dowiódł, że jeśli ZF jest niesprzeczne, to także niesprzeczne jest ZF z dołączonym aksjomatem wyboru i uogólnioną hipotezą continuum (GCH)Gödel, Kurt: Consistency-proof for the generalized continuum-hypothesis. Proc. nat. Acad. Sci. USA 25 (1939), s. 220–224.Gödel, Kurt: The consistency of the continuum hypothesis. „Annals of Mathematical Studies.” 3, Princeton, N.J.: Princeton University Press, 1940.. Wynik ten oznaczał, że nie można dać odpowiedzi negatywnej na pierwszy problem Hilberta, ale problemu tego jeszcze nie rozstrzygał.

Problem continuum został rozstrzygnięty przez Paula Cohena w 1963/64Cohen, Paul: The independence of the continuum hypothesis. „Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A.” 50 (1963), s. 1143–1148.Cohen, Paul J.: The independence of the continuum hypothesis. II. „Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A.” 51 (1964), s. 105–110.Cohen, Paul J.: Set theory and the continuum hypothesis. W.A. Benjamin, Inc., New York-Amsterdam, 1966.. Okazało się, że nie można udowodnić CH. Zgodnie z wcześniejszym wynikiem Gödla, hipotezy tej nie można też zaprzeczyć (na gruncie ZFC), a więc jest ona niezależna od standardowych aksjomatów teorii mnogości. Ważną także stała się, użyta w dowodzie, odkryta przez Cohena, metoda forsingu.

Naiwna teoria mnogości

Pojęcie naiwna teoria mnogości jest używane dla określenia metod stosowanych w początkowym okresie rozwoju tej dyscypliny matematycznej i oznacza podejście oparte na intuicyjnym (nieformalnym) traktowaniu zbiorów. Na przykład w naiwnej teorii mnogości istnienie zbioru będącego sumą dwóch danych zbiorów jest „oczywiste”, podczas gdy obecnie wymagane jest przyjęcie aksjomatu sumy. Tym niemniej dla wielu zastosowań teorii mnogości podejście takie jest wystarczające.

Odkrycie przez Bertranda Russella paradoksów logicznych związanych z pojęciem zbioru sprowokowało Ernsta Zermela do sformułowania w 1908 roku aksjomatycznej teorii zbiorów. Aksjomaty, które wyłoniły się z wielu podejść do aksjomatyzacji matematyki i są obecnie najczęściej używane, noszą nazwę aksjomatów Zermela-Fraenkla. Początkowo ustalenie listy obowiązujących aksjomatów nie zmieniło charakteru rozważań i badań, ale rozwój metod stosowanych w teorii mnogości i zwiększająca się liczba nieintuicyjnych wyników spowodowały zwiększone wyczulenie matematyków na sposób, w jaki używają aksjomatów. Seria twierdzeń wykorzystujących aksjomat wyboru (AC) i godzących w tak zwany zdrowy rozsądek (np. wynik Hausdorffa i potem dalej idący paradoksalny rozkład kuli podany przez polskich matematyków Stefana Banacha i Alfreda Tarskiego w 1924) spowodowała zwracanie zwiększonej uwagi na aksjomaty potrzebne dla przeprowadzanych dowodów.

Aksjomatyczna teoria mnogości

Aksjomatyzacja teorii mnogości była częściowo motywowana potrzebą uniknięcia paradoksów formułowanych w początkowym okresie rozwoju teorii. Później, wraz z pewnym dążeniem do formalizacji całej matematyki na gruncie teorii mnogości i z odkryciami Gödela i Cohena dotyczącymi niezależności pewnych stwierdzeń matematycznych, formalne podejście do teorii mnogości stało się koniecznością.

Elementami uniwersum dowolnego modelu teorii mnogości są zbiory, a jedyną relacją w jej języku jest relacja należenia. W języku tym swoją interpretację posiadają wszystkie „sensowne” obiekty matematyczne. Na przykład funkcje to pewne zbiory par uporządkowanych (które oczywiście również są zbiorami); a według von Neumanna liczba 0 to zbiór pusty; liczba 1 to zbiór, którego jedynym elementem jest zbiór pusty; liczba 2 to zbiór, którego jedynymi elementami są liczba 1 i zbiór pusty i tak dalej. Podobnie można zakodować również bardziej skomplikowane byty (na przykład liczby rzeczywiste, rozmaite struktury algebraiczne czy przestrzenie topologiczne) oraz zapisywać twierdzenia ich dotyczące. Tak naprawdę potrzeba do tego jedynie zbioru pustego, relacji należenia i aksjomatów teorii mnogościMatematyków interesuje tu jedynie fakt, że można w ten sposób (używając zbioru jako pojęcia pierwotnego) sformalizować matematykę. Nikt nie uprawia np. geometrii, posługując się jedynie pojęciem zbioru, relacją należenia i wywodząc wszystkie twierdzenia wprost z aksjomatów teorii mnogości. Wcześniej, przed powstaniem aksjomatycznej teorii mnogości, próbowano oprzeć matematykę na pojęciach liczby i wielkości..

Standardowym zestawem aksjomatów teorii mnogości przyjmowanym dzisiaj w matematyce jest układ Zermela-Fraenkla z aksjomatem wyboru, czyli ZFC.

W pierwszej połowie XX wieku używanie aksjomatu wyboru było uznawane za kontrowersyjne, ale i tak akceptowane. W praktyce wszyscy w zasadzie używali i używają aksjomatu wyboru, ale większość matematyków nie jest tego w pełni świadoma. W teorii mnogości ciągle istnieje zainteresowanie dowodami na gruncie tylko ZF. Jednym z tego powodów jest rozwój aksjomatów sprzecznych z aksjomatem wyboru, jak na przykład AD.

Po odkryciu twierdzeń o niezupełnościGödel, Kurt: Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme. I. „Monatshefte f. Math.” 38 (1931), s. 173–198. oraz w wyniku późniejszych prac Gödla i Cohena, zmienił się charakter badań w teorii mnogości. Dowody niezależności pewnych zdań od aksjomatów ZF(C) i szczegółowa analiza istotności założeń twierdzeń są typowym zjawiskiem we współczesnej, aksjomatycznej teorii mnogości. Wśród zdań niezależnych od aksjomatów ZFC, czyli takich, że ani one, ani ich negacje nie wynikają z aksjomatów ZFC, rozważa się na przykład: hipotezę continuum (CH) aksjomat konstruowalności (V=L) aksjomat Martina (MA) PFA ◊ Jensena hipotezę Suslina hipotezę Kurepy

i wiele innych. Założenie jednego z tych zdań (lub ich kombinacji) jako dodatkowej przesłanki może pomóc matematykowi w wykazaniu, że jakieś stwierdzenie nie jest sprzeczne z aksjomatami ZFC.

Inne teorie Warto zauważyć, że ZFC nie jest jedyną możliwą formalizacją teorii mnogości. Istnieje szereg pokrewnych systemów, ale po prostu nie zyskały one tak wielkiej popularności jak ZFC. Ponadto rozważane też są aksjomatyzacje teorii mnogości całkowicie odmienne od ZFC. Najbardziej znanymi przykładami są układ nazywany New Foundations (NF), zapoczątkowany przez amerykańskiego logika Willard Van Orman Quine’a, oraz jego modyfikacja NFUHolmes, M.R.: Elementary Set Theory with a Universal Set, „Cahiers du Centre de logique”, 10, Academia, Louvain-la-Neuve (Belgium), 1998. ., układ ZFA, który jest otrzymany z ZFC przez zastąpienie aksjomatu regularności przez jego silne zaprzeczenieAczel, Peter: Non-well-founded sets. „CSLI Lecture Notes”, 14. Stanford University, Center for the Study of Language and Information, Stanford, CA, 1988. ..

Układy te są jednak traktowane bardziej jako ciekawostki niż główne narzędzie dla matematyków.