Mogłoby się wydawać, że po prostu wszystkie zbiory nieskończone są równoliczne. Cantor dowiódł jednak, że zbiór liczb naturalnych jest wprawdzie tej samej mocy co zbiór liczb algebraicznych, ale już nie tej samej co zbiór liczb rzeczywistych W związku z tą obserwacją Cantor sformułował następujący problem: Zagadnienie continuum (CH): Przypuśćmy, że A jest nieskończonym podzbiorem Czy można wówczas znaleźć albo bijekcję pomiędzy a A, albo bijekcję pomiędzy a A? Innymi słowy, czy A jest równoliczny albo z albo z ?

Dalsze postępy

David Hilbert, w swojej liście 23 problemów przedstawionych na kongresie w Paryżu w 1900 roku, jako pierwszy problem postawił zagadnienie continuum Cantora.

Ernst Zermelo w 1908 przedstawił pierwszą próbę aksjomatyzacji teorii mnogościZermelo, Ernst: Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre. I. „Math. Ann.” 65 (1908), s. 261–281.. Lista aksjomatów zaproponowana przez Zermela była poprawiona niezależnie przez Thoralfa Skolema i Abrahama Fraenkla około roku 1922. Dzisiaj aksjomaty te znane są jako aksjomaty Zermela-Fraenkla (ZF).