dla przypadku rzeczywistego wystarczy pominąć kreski nad elementami i macierzami oznaczające sprzężenie zespolone, a sprzężoną hermitowsko macierz należy traktować jak macierz transponowaną
Dla dowolnej macierzy zachodzi
tzn. oraz są macierzami Grama układu wektorów wpisanego odpowiednio jako kolumny i wiersze macierzy Niech wektory wyrażone w bazie ortonormalnej odpowiadają kolumnom macierzy Ponieważ dla oraz w pozostałych przypadkach, to jest wyrazem macierzy .
Jeśli czyli jest kwadratowa, to wyznacznik macierzy Grama jest nieujemną wielkością rzeczywistą, gdyż
Układ jest liniowo niezależny wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik Niech będzie podprzestrzenią unitarną rozpiętą przez układ wektorów o współrzędnych w bazie ortonormalnej Jeśli układ jest liniowo niezależny, to a więc jest on bazą przestrzeni i macierz jest odwracalna, gdyż Stąd czyli Z drugiej strony jeśli układ jest liniowo zależny, to liniowo zależne są również kolumny Z interpretacji mnożenia macierzy metodą współczynniki-wektory kolumny macierzy są kombinacjami liniowymi kolumn macierzy skąd wynika, że kolumny również są liniowo zależne, a więc .