O tym, które z macierzy hermitowskich (symetrycznych) są macierzami Grama, czy też dokładniej: czy istnieje taka przestrzeń unitarna, dla której dana macierz hermitowska (symetryczna) jest macierzą Grama pewnej bazy tej przestrzeni, mówi kryterium Sylvestera. Formalnie warunek ten umożliwia sprawdzenie, czy dana macierz dwuliniowej formy hermitowskiej (symetrycznej) jest dodatnio określona – forma ta wówczas jest iloczynem skalarnym na tej przestrzeni.
Objętość
Niech dany będzie liniowo niezależny układ wektorów przestrzeni unitarnej wymiaru Jeśli oznacza -wymiarowy równoległościan rozpięty na to jego -wymiarową objętością nazywa się liczbę
Ponadto przyjmuje się dla oraz dla
Niech Jeśli jest rzutem prostopadłym wektora na dopełnienie ortogonalne podprzestrzeni rozpiętej przez to wtedy Niech wtedy Niech gdzie zaś Wówczas wyrazy postaci w ostatnim wierszu oraz wyrazy postaci w ostatniej kolumnie rozkładają się na sumy oraz Składniki zawierające można pominąć przy liczeniu wyznacznika, gdyż ostatni wiersz je zawierający jest kombinacją liniową pierwszych wierszy macierzy (gdyż jest kombinacją liniową ), podobnie ma się rzecz z ostatnią kolumną.