W początkach teorii mnogości stosowano notację tzn. nie ograniczano się do wybierania elementów z ustalonego zbioru – okazało się jednak, że prowadzi to do sprzeczności takich jak paradoks zbioru wszystkich zbiorów, czy antynomia Russella. Wspomniane problemy związane z konstruowaniem zbiorów były impulsem do formalizacji teorii mnogości poprzez porzucenie naiwnej teorii zbiorów na rzecz różnych aksjomatyzacji pojęć zbioru i relacji należenia; jedną z najczęściej stosowanych jest aksjomatyka Zermela-Fraenkla (w jednym ze swych wariantów).
Relacje
thumb|200px|Przykładowe relacje pomiędzy zbiorami: rozłączność (A i D), posiadanie pewnych elementów wspólnych (A i C), zawieranie, czyli inkluzja (B w A).
W ogólności, dwa dowolne zbiory i mogą: być rozłączne, jeżeli nie posiadają wspólnych elementów; przecinać się, czyli mieć niepustą część wspólną, jeżeli mają pewne elementy wspólne; być w relacji inkluzji, czyli zawierania. Zbiór jest zawarty w (jest podzbiorem zbioru ) wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru należy do zbioru :
być równe, jeżeli mają wszystkie elementy wspólne: .
Warunek równości zbiorów nazywany jest aksjomatem ekstensjonalności. Mówi on, że dwa zbiory są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają te same elementy.