„Fundamenta Mathematicae” 138 (1991)., więc każdy dowód twierdzenia Hahna-Banacha wymaga pewnej formy aksjomatu wyboru. Aksjomat o wyborach zależnych wystarczy dla dowodu twierdzenia Hahna-Banacha dla przestrzeni ośrodkowych. Twierdzenie o rozszerzaniu filtrów do ultrafiltrów wystarczy do udowodnienia twierdzenia Hanha-Banacha w pełnej ogólności, ale to ostatnie twierdzenie nie implikuje, że każdy filtr jest zawarty w filtrze maksymalnym.
Wnioski
Jeżeli jest rzeczywistą przestrzenią liniową, a funkcjonał spełnia warunek (b), to dla każdego istnieje taki funkcjonał liniowy że oraz dla Załóżmy, że (a) jest przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych, a jest półnormą (b) jest podprzestrzenią liniową, oraz jest funkcjonałem liniowym takim, że dla wszystkich Wówczas istnieje funkcjonał liniowy taki, że oraz dla wszystkich
Jeśli jest przestrzenią unormowaną, jest jej podprzestrzenią liniową oraz to istnieje taki, że oraz Twierdzenie o wydobywaniu normy: Jeśli jest niezdegenerowaną przestrzenią unormowaną oraz to dla pewnego takiego, że Ponadto
Jeśli jest przestrzenią unormowaną, jest jej domkniętą podprzestrzenią liniową oraz to istnieje taki, że oraz
Twierdzenia o oddzielaniu. Stosując twierdzenie Hahna-Banacha, można udowodnić istnienie granicy Banacha i funkcjonału Banacha.