Znajdziemy wówczas pracowitego bobra i liczbę zapisanych przezeń jedynek będzie równa Σ(n) (ponieważ wszystkie n-stanowe maszyny Turinga, które się zatrzymają zrobią to w S(n) krokach).

Tak więc studium funkcji maksymalnych przesunięć jest blisko powiązane ze studium funkcji pracowitego bobra.

Znane wartości Dokładne wartości funkcji Σ(n) i S(n) są znane tylko dla n < 5. Obecnie najlepszy pracowity bóbr dla maszyny 5-stanowej produkuje 4098 jedynek, w 47 176 870 krokach (odkryty przez Heinera Marxena i Jürgena Buntrocka w 1989 r.), istnieje jednak około 40 maszyn zachowujących się nieregularnie, o których sądzi się, że nigdy się nie zatrzymują, ale dla żadnej z nich jak dotąd tego nie udowodniono. W tej chwili rekordowy bóbr 6-stanowy produkuje ponad 101439 1-en, używając ponad 102879 kroków (odkryty przez Terry’ego i Shawna Ligockich w 2007). Jak już podano wyżej, te pracowite bobry są 2-znakowymi maszynami Turinga.

Milton Green skonstruował zestaw maszyn wykazując, że (gdzie jest strzałką w górę Knutha, a A jest funkcją Ackermanna)

w publikacji z 1964 r. A Lower Bound on Rado’s Sigma Function for Binary Turing Machines.