Aby uniknąć kłopotów z wieloznacznością funkcji uwikłanej, bada się jej istnienie w sensie lokalnym, tj. istnienie takiej funkcji która jest określona w pewnym otoczeniu punktu spełnia w tym otoczeniu warunek oraz Jest to możliwe tylko wtedy, gdy i są tak dobrane, że Prawdziwe jest następujące twierdzenie.
Twierdzenie o funkcji uwikłanej Niech będą przestrzeniami Banacha. Jeżeli jest zbiorem otwartym, a funkcją klasy i dla pewnego punktu oraz pochodna cząstkowa
to istnieją liczby i oraz funkcja klasy że
dla każdego punktu jedynym punktem spełniającym równanie jest punkt
Założenie zupełności przestrzeni unormowanych jest niezbędne, gdyż dowód twierdzenia o funkcji uwikłanej opiera się o twierdzenie o lokalnym dyfeomorfizmie.
Twierdzenie o różniczkowaniu funkcji uwikłanej Niech będą przestrzeniami Banacha, będzie zbiorem otwartym oraz funkcją klasy taką, że różniczka cząstkowa dla każdego Dalej niech dana będzie funkcja ciągła gdzie jest podzbiorem otwartym przestrzeni Jeżeli dla każdego oraz
to jest funkcją klasy i dla każdego różniczka:
Funkcje rzeczywiste Niech będzie zbiorem otwartym.