Wielkości te umożliwiają zdefiniowanie całki dolnej i górnej (Darboux) funkcji jako odpowiednio
oraz
O funkcji mówi się, że jest całkowalna w sensie Darboux lub krótko D-całkowalną, jeżeli wówczas tę wspólną wartość całki dolnej i górnej Darboux nazywa się po prostu całką Darboux.
Całka Riemanna thumb|Przykład sum Riemanna przy wyborze punktu pośredniego w prawym końcu podprzedziału (niebieski), w wartości minimalnej (czerwony) i maksymalnej (zielony) funkcji w podprzedziale i lewego końca podprzedziału (żółty). Wartość wszystkich czterech przypadków zbliża się do 3,76 przy powiększaniu liczby podprzedziałów od 2 do 10 (w domyśle, również nieograniczenie). Niech dana będzie funkcja ograniczona Sumą częściową (Riemanna) nazywa się liczbę
Funkcję nazywa się całkowalną w sensie Riemanna lub krótko R-całkowalną, jeśli dla dowolnego ciągu normalnego podziałów przedziału istnieje (niezależna od wyboru punktów pośrednich) granicaJeżeli dla każdego ciągu normalnego przedziałów odpowiednie sumy Riemanna są zbieżne, to są one zbieżne to jednej i tej samej granicy. Niech oraz będą dwoma normalnymi ciągami podziałów przedziału Ciąg podziałów zdefiniowany jako jest normalny, a ponieważ funkcja jest całkowalna w sensie Riemanna, więc granica istnieje i nie zależy od wyboru punktów pośrednich.