Liczby są długościami boków trójkąta gdzie thumb|200px|Trójkąt prostokątny o bokach Wektory są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy trójkąt jest prostokątny, a to jest równoważne na mocy prostego i odwrotnego twierdzenia Pitagorasa zależności:
tzn.
Zastosowanie wzoru na kwadrat różnicy do powyższej równości implikuje równość
która upraszcza się do wyrażenia
Lewa strona powyższej równości pokrywa się ze wzorem na iloczyn skalarny wektorów i w przestrzeni trójwymiarowej.
Przykłady Przestrzenie euklidesowe
Wektory i na płaszczyźnie są ortogonalne (prostopadłe), ponieważ
Wektor zerowy jest ortogonalny do każdego wektora.
Przestrzenie funkcyjne Ortogonalność pojawia się również w kontekście przestrzeni funkcyjnych, w których określony jest pewien iloczyn skalarny. Z tego powodu mówi się często o funkcjach ortogonalnych, czy wielomianach ortogonalnych. Klasycznym przykładem jest przestrzeń , tj. przestrzeń wszystkich funkcji, określonych na przedziale o wartościach zespolonych, całkowalnych w drugiej potędze. Iloczyn skalarny elementów i tej przestrzeni definiuje się wzorem
W przypadku, gdy to rodzina funkcji
jest przykładem układu ortogonalnego. Inne przykłady ortogonalnych układów funkcji to np. wielomiany Legendre’a czy wielomiany Czebyszewa.
Zobacz też macierz ortogonalna
Przypisy
Kategoria:Wektory Kategoria:Przestrzenie Hilberta