W 1822 r. ukazało się dzieło słynnego matematyka francuskiego J.B. Fouriera pt. Analityczna teoria ciepła. Zajmując się problemem rozkładu temperatury w walcu ogrzanym do pewnej temperatury, a następnie poddanym chłodzeniu w określonych warunkach, Fourier otrzymał szczególny przypadek równania Bessela, dla którego podał rozwiązanie dla rzędu zero. Analizą rozkładów temperatur w kulach i walcach i funkcjami typu funkcji Bessela zajmował się później także inny Francuz, Siméon Denis Poisson. Wszyscy przywołani wyżej uczeni badali więc różne przypadki szczególne pewnego równania różniczkowego, jednak żaden z nich nie podjął próby rozwiązania go w sposób systematyczny.
W 1824 r. Friedrich Wilhelm Bessel badał eliptyczne ruchy planet. Doszedł do wniosku, że wielkość astronomiczną, zwaną anomalią mimośrodową, można przedstawić za pomocą pewnego szeregu nieskończonego, który można przekształcić do postaci, zwanej obecnie funkcją Bessela. Wyniki swych prac wydał Bessel drukiem w 1826 r., jednak samo pojęcie „funkcji Bessela” upowszechniło się dopiero z górą 30 lat później, po publikacji pracy Oskara Schlömilcha pt. Über die Besselsche FunktionSchlömilch Oskar: Über die Besselsche Funktion, „Zeitschrift für Mathematik und Physik” Band 2 (1857), s.