W postaci rozwiniętej mamy:
gdzie oznacza silnię podwójną.
(2) Całka eliptyczna drugiego rodzaju może być przedstawiona za pomocą szeregu:
tj.
Obliczenia numeryczne całek eliptycznych Poniżej podano kod programu w C++ liczącego całki eliptyczne zupełne 2. rodzaju dla gdzie Zastosowano tu prostą metodę całkowania numerycznego – metodę trapezów. Pomimo prostoty uzyskuje się dowolnie duże dokładności, przy odpowiednio dobranej liczbie podziałów przedziału całkowania. Szybciej zbieżne metody numeryczne wykorzystują np. rozwinięcia funkcji podcałkowej w szeregi (por. powyżej). /* Liczenie całek eliptycznych 2. rodzaju E(k) */ #include <iostream> #include <iomanip> #include <cmath>
using namespace std;
double f(double t, double k) { return sqrt(1-k*k*sin(t)*sin(t)); }
int main() { double t, h, trapez, pole, t1,t2, alfa, alfa_r, k, a, b; int m;
for(int j=0;j<=90;j++)
alfa=j; //kąt w stopniach alfa_r = M_PI/180*alfa; k=sin(alfa_r); t1=0; //wartość początkowa przedziału całkowania t2=M_PI/2; //wartość końcowa przedziału całkowania m = 10000000;//Liczba podziałów przedziału całkowania
pole = 0; h = (t2-t1)/m;
t=t1; a=f(t,k);
for(int i=1; i<=m;