Przydatne podstawienia Całkowanie funkcji trygonometrycznych Całkując funkcje wymierne funkcji trygonometrycznych (czyli funkcje postaci ) stosuje się podstawienia pozwalające na wyeliminowanie ich z obliczeń: W ogólności stosować można zawsze tzw. podstawienie uniwersalne Jeżeli jednak funkcja spełnia jeden z podanych niżej warunków, wygodniej jest stosować podstawienie z nim związane. Jeśli funkcja jest nieparzysta ze względu na sinus stosuje się podstawienie Jeśli funkcja jest nieparzysta ze względu na cosinus stosuje się podstawienie Jeśli funkcja jest parzysta ze względu na sinus i cosinus równocześnie stosuje się podstawienie

Za pomocą jedynki trygonometrycznej oraz innych tożsamości trygonometrycznych można wyprowadzić czynniki zastępujące funkcje trygonometryczne, w szczególności w przypadku podstawienia uniwersalnego:

zachodzi:

W przypadku podstawienia mamy dla funkcji postaci

Przykłady Przykład zastosowania podstawienia uniwersalnego:

Podstawienia Eulera

Podstawienia Eulera stosuje się przy obliczaniu całek funkcji postaci gdzie R jest funkcją wymierną.

I podstawienie Eulera I podstawienie można stosować, gdy a>0. Przyjmuje się wtedy: Wobec tego otrzymuje się:

Zgodnie z przyjętym podstawieniem zachodzi:

II podstawienie Eulera II podstawienie można stosować, gdy c>0.