Użyjmy jako zapisu upraszczającego, gdzie jest funkcją wydatków, która pozwala na minimalizację wydatków gospodarstw domowych na pewien poziom użyteczności. Jeśli istnieje zestaw podatków, dopłat i ryczałtów, które pozostawiają gospodarstwa domowe bez zmian i zwiększają dochody rządowe, to powyższa równowaga nie jest optimum Pareta. Z drugiej strony, jeśli powyższa równowaga nieopodatkowana jest optimum Pareta, to następujący problem maksymalizacji ma rozwiązanie dla
Jest to niezbędny warunek optymalności Pareta. Przyjmowanie pochodnej ograniczenia w odniesieniu do wydajności t:
gdzie i to maksymalna funkcja zysku firmy. Ale ponieważ q = t + p, mamy to dq/dt = IN-1 + dp/dt. Dlatego podstawianie w powyższym równaniu i przestawianie warunków daje:
Podsumowując wszystkie gospodarstwa domowe i pamiętając o tym wydajność:
Według twierdzenia o kopercie mamy:
∀k.
Pozwala to na przepisanie ograniczenia jako:
Ponieważ
Rozróżnienie funkcji celu problemu maksymalizacji:
Zastępując z poprzedniego równania wynika:
Przypomnijmy, że dla problemu maksymalizacji rozwiązanie
Podsumowując, aby równowaga była optimum Pareta, musi wynosić zero.