Wektor gradientu jest dłuższy, gdyż wskazuje kierunek największej zmiany wartości funkcji. Twierdzenie:
Jeżeli istnieje gradient funkcji w punkcie (co oznacza, że jest różniczkowalna w )
to pochodna kierunkowa funkcji w kierunku wektora jest równa iloczynowi skalarnemu gradientu funkcji i wektora
Przykład (1) Niech będzie dana funkcja
(2) Gradient funkcji wynosi
(3) Pochodna kierunkowa funkcji w kierunku jednostkowego wektora dana jest zależnością
czyli
Twierdzenia Pochodna kierunkowa ma wiele własności identycznych jak zwykła pochodna. Wśród nich, dla funkcji i określonych w otoczeniu punktu w którym funkcje te są różniczkowalne, słuszne są reguły:
(1) reguła sumy
(2) reguła stałej: dla dowolnej stałej zachodzi
(3) reguła iloczynu (reguła Leibniza)
(4) reguła łańcuchowa: jeśli jest różniczkowalna w zaś jest różniczkowalna w to
Pochodna w kierunku wektora niejednostkowego (1) Definicja pochodnej w kierunku niejednostkowego i niezerowego wektora ma postać:
gdzie – długość wektora
(2) Twierdzenie
Gdy jest różniczkowalna w punkcie to
czyli pochodna ta jest identyczna jak dla wektora jednostkowego.
Uwaga: