Definicja pochodnej kierunkowej dla wektorów niejednostkowych jest niezgodna z notacją używaną w pozostałych działach matematyki, gdzie oczekuje się, iż pochodne algebry różniczkowej tworzą przestrzeń liniową.
Pochodna kierunkowa pochodnej Frécheta Dla bardziej ogólnego przypadku pochodnej Frécheta pochodną kierunkową wyznacza wzór:
Związek z pochodną cząstkową
Jeśli jest bazą standardową w to pochodna kierunkowa funkcji wzdłuż wektora dla jest równa pochodnej cząstkowej względem zmiennej tzn.
gdzie
Rozmaitości różniczkowe
thumb|221x221px|Przestrzeń styczna 2-wymiarowa (tj. płaszczyzna) do 2-wymiarowej rozmaitości (powierzchni) w punkcie oraz wektor styczny do krzywej przechodzącej przez punkt Jeżeli:
(1) jest funkcją określoną w otoczeniu punktu rozmaitości różniczkowej różniczkowalną w punkcie
(2) oznacza wektor styczny do rozmaitości w punkcie
(3) odwzorowanie generuje krzywą różniczkowalną taką że
oraz
to pochodną kierunkową w punkcie wzdłuż wektora definiuje wzór
Tw. Dowodzi się, że pochodna ta nie zależy od wyboru krzywej
Przestrzenie liniowo-topologiczne
Bezpośrednim uogólnieniem pochodnej kierunkowej na lokalnie wypukłe przestrzenie liniowo-topologiczne (w tym przestrzenie Banacha) jest tzw.