Twierdzenie Lagrange’a – twierdzenie teorii grup mówiące, że w grupie skończonej rząd dowolnej jej podgrupy jest dzielnikiem rzędu grupy, tzn. zachodzi równość
gdzie oznacza indeks podgrupy w zaś odpowiednio rząd grupy i podgrupy.
Wynik nosi nazwisko Josepha Louisa Lagrange’a.
Dowód
Niech będzie grupą skończoną. Zbiór warstw lewostronnych grupy względem podgrupy stanowi rozbicie zbioru na równolicznych ze zbiorem zbiorów:
W ten sposób
a skoro poszczególne warstwy są rozłączne, to
przy czym wszystkie warstwy są równoliczne z co oznacza, że
zatem
Wnioski i uwagi Rząd dowolnego elementu grupy jest dzielnikiem rzędu grupy (wynika to wprost z definicji rzędu). W szczególności, dla dowolnego elementu danej grupy prawdziwa jest równość gdzie jest elementem neutralnym grupy, a oznacza jej rząd. Jeżeli rząd grupy jest liczbą pierwszą, to jest ona grupą cykliczną. Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Lagrange’a nie jest prawdziwe, tzn.