nie gwarantuje, że dla każdego dzielnika rzędu grupy istnieje podgrupa, której rząd jest równy danemu dzielnikowi. Najmniejszym przykładem jest grupa alternująca Choć dzielnikami rzędu grupy są to grupa zawiera jako podgrupy wyłącznie: -elementową grupę trywialną, trzy -elementowe i cztery -elementowe grupy cykliczne, -elementową grupę niecykliczną oraz -elementową grupę niewłaściwą; w szczególności nie ma podgrupy -elementowej. Częściowym rozwiązaniem problemu istnienia podgrup danego rzędu są twierdzenie Cauchy’ego oraz twierdzenia Sylowa. W ogólności nie ma prostego sposobu na podział grup skończonych na te, które spełniają twierdzenie odwrotne i te, które go nie spełniają. Można jednak wyróżnić trzy klasy grup skończonych, które spełniają twierdzenie odwrotne: grupy abelowe, grupy diedralne i grupy pierwsze (są one przypadkami szczególnymi grup superrozwiązalnych, dla których twierdzenie odwrotne do twierdzenia Lagrange’a zachodzi). Twierdzenie to rozumiane jako stwierdzenie o liczbach kardynalnych jest równoważne aksjomatowi wyboru.
Uogólnienia Twierdzenie Jeżeli jest skończona oraz to zachodzi
Dowód Z twierdzenia Lagrange’a wynika, że
oraz
skąd
Zobacz też twierdzenie Cauchy’ego twierdzenia Sylowa
Przypisy
Lagrange’a (teoria grup) Kategoria:Podgrupy