Twierdzenie Lagrange’a – jedno z kilku twierdzeń o wartości średniej w rachunku różniczkowym; jest to uogólnienie twierdzenia Rolle’a oraz szczególny przypadek twierdzenia Cauchy’ego i twierdzenia Taylora.
Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska Josepha Louisa Lagrange’a, który podał je i udowodnił w 1797 roku.
Twierdzenie Jeśli dana funkcja jest ciągła w przedziale różniczkowalna w przedziale
to istnieje taki punkt że:
Interpretacje mały|300px
W języku geometrii twierdzenie Lagrange’a mówi o tym, że na łuku będącym wykresem funkcji od punktu do punktu istnieje taki punkt, w którym styczna jest równoległa do siecznej poprowadzonej między punktami i
współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji w punkcie wynosi Na mocy twierdzenia Lagrange’a jest on równy
Z kolei teza twierdzenia Lagrange’a zapisana w postaci iloczynowej
wskazuje na to, że przyrost wartości funkcji dla argumentów i wyraża się przez przyrost wartości zmiennej (argumentów) i pochodną funkcji w pewnym punkcie pośrednim między i – stąd właśnie nazwa twierdzenia.
Dowód Przyjmijmy następujące oznaczenia: , .
Mamy wtedy: ,
co, przechodnio, daje: .
Ponadto: ,
skąd mamy: .
A zatem:
,
czyli funkcja spełnia założenia twierdzenia Rolle’a.