Stąd, na mocy twierdzenia Rolle'a, możemy stwierdzić, że istnieje taki punkt , że .
Z drugiej strony mamy: . Stąd otrzymujemy: .
Dlatego też, ostatecznie: ; czego należało dowieść.
Historia mały|Joseph Louis Lagrange (1736–1813)
Pierwszy przykład zastosowania został opisany przez Parameśwarę (1380–1460), z keralskiej szkoły astronomii i matematyki, w jego komentarzach do Gowindśwvāminiego i Bhaskaraćarji. W 1691 roku Michel Rolle udowodnił prostszą postać tego twierdzenia dla wielomianów (nie powołując się na metody rachunku różniczkowego); dziś szczególny przypadek twierdzenia Lagrange’a znany jest właśnie jako twierdzenie Rolle’a. Twierdzenie Lagrange’a we współczesnej postaci i pełnej ogólności zostało postawione i udowodnione przez Augustina Louisa Cauchego w 1823 roku.
Uogólnienie Dla funkcji o wartościach w dowolnych przestrzeniach wektorowych (a nawet w dla ) teza twierdzenia nie jest spełniona.