W 1854 roku Arthur Cayley uogólnił je, definiując abstrakcyjne grupy przez aksjomaty.
Dalszy rozwój mały|Diagram cykli w grupie ośmiu jednostkowych kwaternionów oznaczanej Q8 mały|Ilustracja lematu Zassenhausa
Od XIX wieku w rozważaniach matematycznych pojawiły się nowe przykłady grup oraz zastosowania dla ich ogólnej teorii.
W XIX wieku analiza matematyczna zaczęła definiować nowe obiekty tworzące grupy jak ciągi zbieżne, ciągi zbieżne do zera, ciągi sumowalne, funkcje ciągłe, różniczkowalne, regularne, gładkie, analityczne czy całkowalne (przestrzenie Lp i Sobolewa). Z drugiej strony teoria grup nie poświęca im zbyt wiele uwagi, a badania tych obiektów nie korzystają z twierdzeń teorii grup.
William Rowan Hamilton opisał kwaterniony, które po wyłączeniu z nich zera tworzą nieprzemienną grupę mnożeniową. Jedna z jej podgrup jest istotna w teorii grup skończonych. Oprócz tego ten przykład liczb hiperzespolonych przyczynił się do rozważań ogólnych przestrzeni kartezjańskich, np. w pracach Hermanna Grassmanna.
W geometrii grupy posłużyły do klasyfikacji różnorakich teorii.