Jako nieprzemienna grupa prosta nie jest rozwiązalna, co na mocy zasadniczego twierdzenia teorii Galois dowodzi twierdzenia Abela-Ruffiniego.
Początków właściwej teorii grup można upatrywać dwóch działach matematyki: teorii liczb i klasycznej, elementarnej algebrze.
Najstarsze twierdzenia zaliczone potem do teorii grup dotyczą skończonych grup przemiennych i pochodzą z teorii liczb całkowitych, konkretniej z arytmetyki modularnej. Pierwszym wynikiem tego typu było chińskie twierdzenie o resztach, a do późniejszych należą małe twierdzenie Fermata i uogólniające je twierdzenie Eulera. Kongruencje liczb badał też Carl Friedrich Gauss w swojej pracy Rozważania arytmetyczne (); z późniejszej perspektywy badał on pierścienie ilorazowe pierścienia liczb całkowitych, tzn. grupy addytywne i multiplikatywne pewnych pierścieni i ciał. Idee te nie były również obce Évariste’owi Galois, od nazwiska którego pochodzi inna nazwa ciała skończonego: ciało Galois.