Działanie to definiuje się je następująco:
Baza przestrzeni liniowej Rn Przestrzeń liniowa ma naturalną bazę nazywaną standardową (lub kanoniczną):
w której dowolny wektor może być zapisany jednoznacznie w postaci
Przestrzeń jest w związku z tym przykładem szerszej klasy przestrzeni z układem współrzędnych kartezjańskich, w których dowolny punkt można jednoznacznie identyfikować z jego współrzędnymi.
Wybór punktu początkowego przestrzeni Przestrzeń afiniczną można przekształcić w przestrzeń liniową poprzez wybór punktu początkowego takiego że:
Z tego powodu współrzędne punktu
pokrywają się ze współrzędnymi odpowiadającego mu wektora
Uwaga: Symbolika punktu różni się – nieznacznie – od symboliki wektora De facto punkt przestrzeni w której wybrano punkt początkowy, można utożsamiać z wektorem, gdyż mają ten sam zbiór współrzędnych.
Przestrzeń z wyżej omówioną strukturą jest prototypem -wymiarowej rzeczywistej przestrzeni liniowej. Istotnie, każda -wymiarowa rzeczywista przestrzeń liniowa jest izomorficzna z Wspomniany izomorfizm nie jest jednak kanoniczny, jego wybór jest równoważny wyborowi bazy w Czasami jednak zamiast w wygodniej jest pracować w abstrakcyjnych przestrzeniach liniowych. Umożliwia to pracę w przestrzeni pozbawionej współrzędnych (tzn.