Każdy domknięty podzbiór przestrzeni zwartej jest zwarty.
Dowód: Niech będzie domkniętym podzbiorem przestrzeni zwartej Weźmy dowolne otwarte pokrycie zbioru Ponieważ jest domknięty, to jego dopełnienie jest otwarte i razem z stanowi otwarte pokrycie przestrzeni Ponieważ przestrzeń jest zwarta, więc z jej pokrycia możemy wybrać skończone podpokrycie przestrzeni Ale więc jest zarazem pokryciem zbioru Zatem jest zwarty, cnd.
Tw. 9. Zwarta przestrzeń Hausdorffa jest normalna.
Zwartość w przestrzeniach metrycznych thumb|upright=1.6|Przedział nie jest zwarty, bo nie jest ograniczony. Przedział nie jest zwarty, bo nie jest domknięty. Przedział jest zwarty, bo jest domknięty i ograniczony. Tw. 10. Niech będzie przestrzenią metryczną. Następujące warunki są równoważne:
przestrzeń jest zwarta, każdy ciąg w tej przestrzeni zawiera podciąg zbieżny do punktu należącego do tej przestrzeni (tzn. jest ciągowo zwarta), z każdego przeliczalnego pokrycia można wybrać podpokrycie skończone, tzn. jest przeliczalnie zwarta, dla każdej funkcji ciągłej obraz jest ograniczony, tzn. jest pseudozwarta.
Tw. 11. Zwarty podzbiór przestrzeni metrycznej jest ograniczony.