Dowód: Niech będzie zwartym podzbiorem przestrzeni metrycznej Należy udowodnić, że Wykorzystamy fakt, że metryka jest ciągła. Obcięcie jest ciągłe. Na mocy tw. Weierstrassa funkcja jest ograniczona. Zatem Czyli Wykazaliśmy, że zbiór jest ograniczony, cnd.
(twierdzenie Heinego-Borela) Podzbiór przestrzeni euklidesowej jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest domknięty i ograniczony.
Przykłady Stosując powyższe twierdzenia, można łatwo stwierdzić, które poniższe przestrzenie są zwarte, a które nie: zwarty jest odcinek bo jest domknięty i ograniczony, odcinek nie jest zwarty, bo nie jest domknięty, zwarta nie jest również cała prosta liczbowa bo jest zbiorem nieograniczonym, zwarty jest zbiór Cantora.
Pseudozwartość Przestrzeń topologiczną nazywamy pseudozwartą jeśli jest przestrzenią Tichonowa i każda ciągła funkcja o wartościach rzeczywistych jest ograniczona. Każda przestrzeń zwarta jest pseudozwarta, jednak istnieją przestrzenie pseudozwarte, które nie są zwarte. Na przykład liczba porządkowa z topologią porządkową jest pseudozwarta, ale nie jest zwarta.
Zwartość a ciągowa zwartość