Równolegle w geometrii algebraicznej formowały się podstawy wielowymiarowej algebry przemiennej. W tamtych czasach badano krzywe na płaszczyźnie zespolonej oraz rozmaitości algebraiczne w określane jako wspólne miejsca zerowe wielomianów . Tę samą rozmaitość , można określić za pomocą innych wielomianów. Sensowniej jest zatem powiązać rozmaitość algebraiczną z ideałem wielomianów zerujących się na niej. Tę ideę rozwinął w swoich pracach David Hilbert, który udowodnił: twierdzenie Hilberta o zerach, twierdzenie Hilberta o bazie, twierdzenie o syzygiach oraz istnienie wielomianu Hilberta dla ideału jednorodnego w pierścieniu wielomianów.
Nowe kierunki rozwoju otworzyła praca Krulla o pierścieniach lokalnych. Przykładem pierścienia lokalnego jest pierścień kiełków funkcji analitycznych w punkcie rozmaitości zespolonej. Z tematyką tą związane są operacje lokalizacji, uzupełnienia i przejścia do pierścienia Gentzena. Krull rozwinął teorię wymiaru pierścieni lokalnych i wprowadził pojęcie regularnego pierścienia przemiennego. W pierścieniu lokalnym można wprowadzić topologię, co pozwala wprowadzić operację uzupełnienia i porównać własności pierścienia i jego uzupełnienia. W roku 1946 I.S.