Twierdzenie von Neumanna o drugim komutancie Mimo iż definicja algebry von Neumanna używa pojęcia słabej topologii operatorowej, jest ona równoważna definicji czysto algebraicznej. Niech będzie przestrzenią Hilberta. Dla danego podzbioru , symbol , oznacza tradycyjnie tzw. komutant zbioru , tj. następujący zbiór: . Analogicznie, oznacza drugi komutant zbioru , tj. komutant dla komutanta .
Niech będzie pod-*-algebrą , zawierającą operator identyczności . Wówczas następujące warunki są równoważne:
jest domknięta w słabej topologii operatorowej (tj. inaczej: jest algebrą von Neumanna); jest domknięta w mocnej topologii operatorowej; jest domknięta w tzw. topologii ultrasłabej,
przy czym topologia ultrasłaba to topologia *-słaba pochodząca z dualności , gdzie oznacza przestrzeń Banacha operatorów nuklearnych (śladowych) na .
Różni autorzy używają wymiennie wymienionych wyżej warunków do zdefiniowania pojęcia algebry von Neumanna.