Wczesne lata Pochodził z rodziny mieszczan-rolników Kłymentija (Klemensa) i Marii z domu Dżaman. Był najstarszym dzieckiem tego małżeństwa. Miał troje rodzeństwa: Pawło (Pawła) (1893–1944), Mikołaja (ur. 1897) i Marię (1905–1945). Ukraińska unicka rodzina Wasyńczuków, pochodzenia chłopskiego, wywodziła się z miejscowości Iłowa położonej na Chełmszczyźnie. W 1810 Mikołaj Wasyńczuk (1765–1845), prapradziadek Antina, osiedlił się w Chełmie. Od tego czasu rodzina Wasyńczuków zamieszkiwała to miasto.
W różnych materiałach dotyczących zarówno samego Antina, jak i jego brata Pawło, ich nazwisko często występuje w formie „Wasylczuk” (szczególnie, gdy zapisywane jest cyrylicą). Jak podaje biograf Wasyńczuka, dr Mirosław Szumiło, w 1917 Antin, Pawło oraz ich kuzyn Jerzy zmienili nazwisko na wcześniej wspomniane (na początku lat 20. XX wieku Antin posiadał dokumenty osobiste na nazwisko „Wasylczuk”). Do pierwotnego jego brzmienia powrócili w 1923. Prasa ukraińska pozostała jednak przy formie „Wasylczuk”.